1) \(2^x = t\) 로 치환하면 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(t > 0\) 이며, 주어진 부등식은 \(t > 0\) 인 모든 실수 \(t\)에 대하여 \[g(t) = t^2 - 4t + k - 3 > 0\] 이 항상 성립하는 것과 동치입니다.
2) 이차함수 \(g(t)\)를 표준형으로 변형하면 \[g(t) = (t - 2)^2 + k - 7 \quad (t > 0)\] 입니다.
3) 대칭축 \(t = 2\) 가 정의역 \(t > 0\) 안에 포함되므로, \(t > 0\) 에서 함수 \(g(t)\)는 \(t = 2\) 일 때 최솟값 \(g(2) = k - 7\) 을 갖습니다.
4) 따라서 \(t > 0\) 인 모든 실수 \(t\)에 대하여 \(g(t) > 0\) 이 성립하려면 최솟값이 \(0\)보다 커야 하므로 \[k - 7 > 0 \implies k > 7\] 입니다.

1) 진수 조건 \(x > 0\) 에서 \(\log_3 x^4 = 4\log_3 x\) 이므로 \(\log_3 x = t\) 로 치환하면 주어진 방정식은 \[t^2 - 4t - 6 = 0\] 이 됩니다.
2) 원래 방정식의 두 실근이 \(\alpha, \beta\) 이므로 치환된 이차방정식의 두 실근은 \(t_1 = \log_3 \alpha,\; t_2 = \log_3 \beta\) 입니다. 근과 계수의 관계에 의하여 \[t_1 + t_2 = \log_3 \alpha + \log_3 \beta = \log_3(\alpha\beta) = 4, \qquad t_1 t_2 = (\log_3 \alpha)(\log_3 \beta) = -6\] 입니다. 따라서 \(\alpha\beta = 3^4 = 81\) 입니다.
3) 밑을 \(3\)으로 하는 밑의 변환 공식을 적용하면 \[\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha = \dfrac{\log_3 \beta}{\log_3 \alpha} + \dfrac{\log_3 \alpha}{\log_3 \beta} = \dfrac{t_1^2 + t_2^2}{t_1 t_2} = \dfrac{(t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2}{t_1 t_2}\] 입니다.
4) \(t_1 + t_2 = 4,\; t_1 t_2 = -6\) 을 대입하면 \[\dfrac{4^2 - 2(-6)}{-6} = \dfrac{16 + 12}{-6} = -\dfrac{28}{6} = -\dfrac{14}{3}\] 입니다.

1) \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\) 를 대입하여 양변에 \(-1\)을 곱하면 \[(1 - \sin^2 x) + 2a\sin x - a + 2 > 0 \iff \sin^2 x - 2a\sin x + a - 3 < 0\] 입니다.
2) \(\sin x = t\) 로 치환하면 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(-1 \le t \le 1\) 입니다. 즉 닫힌구간 \([-1, 1]\) 에 속하는 모든 \(t\)에 대하여 이차함수 \[g(t) = t^2 - 2at + a - 3 < 0\] 이 항상 성립해야 합니다.
3) 아래로 볼록한 이차함수 \(g(t)\)가 닫힌구간 \([-1, 1]\) 에서 항상 음수이기 위한 필요충분조건은 양 끝점에서의 함숫값 \(g(-1)\) 과 \(g(1)\) 이 모두 \(0\)보다 작은 것입니다.
• \(g(-1) = 1 + 2a + a - 3 = 3a - 2 < 0 \implies a < \dfrac{2}{3}\)
• \(g(1) = 1 - 2a + a - 3 = -a - 2 < 0 \implies a > -2\)
4) 따라서 두 조건을 동시에 만족시키는 실수 \(a\)의 값의 범위는 \(-2 \lt a \lt \dfrac{2}{3}\) 입니다.

1) 삼각형 \(\text{ABC}\)에서 코사인법칙에 의하여 \(\cos B\)를 구합니다. \[\cos B = \dfrac{\overline{\text{AB}}^2 + \overline{\text{BC}}^2 - \overline{\text{AC}}^2}{2 \cdot \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{BC}}} = \dfrac{4^2 + 8^2 - 6^2}{2 \times 4 \times 8} = \dfrac{16 + 64 - 36}{64} = \dfrac{44}{64} = \dfrac{11}{16}\] 2) 점 \(\text{M}\)이 변 \(\text{BC}\)의 중점이므로 \(\overline{\text{BM}} = \dfrac{1}{2}\overline{\text{BC}} = 4\) 입니다.
3) 삼각형 \(\text{ABM}\)에서 코사인법칙을 적용하여 \(\overline{\text{AM}}^2\) 을 구합니다. \[\overline{\text{AM}}^2 = \overline{\text{AB}}^2 + \overline{\text{BM}}^2 - 2 \cdot \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{BM}} \cos B = 4^2 + 4^2 - 2 \times 4 \times 4 \times \dfrac{11}{16} = 16 + 16 - 22 = 10\] 4) 따라서 선분 \(\text{AM}\)의 길이는 \(\sqrt{10}\) 입니다.

1) 일반항 \(a_k\)의 진수를 통분하여 인수분해합니다. \[1 - \dfrac{1}{(k + 1)^2} = \dfrac{(k + 1)^2 - 1}{(k + 1)^2} = \dfrac{k(k + 2)}{(k + 1)^2}\] 2) 로그의 성질 \(\log_2 X + \log_2 Y = \log_2(XY)\) 에 의하여 \(k = 1\) 부터 \(k = 30\) 까지의 합은 진수들의 곱의 로그와 같습니다. \[\sum_{k=1}^{30} a_k = \log_2 \left\{\prod_{k=1}^{30} \dfrac{k(k + 2)}{(k + 1)^2}\right\} = \log_2 \left(\dfrac{1 \cdot 3}{2^2} \times \dfrac{2 \cdot 4}{3^2} \times \dfrac{3 \cdot 5}{4^2} \times \cdots \times \dfrac{30 \cdot 32}{31^2}\right)\] 3) 분모와 분자를 연쇄 약분하면 \[\prod_{k=1}^{30} \left(\dfrac{k}{k + 1} \cdot \dfrac{k + 2}{k + 1}\right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{32}{31} = \dfrac{16}{31}\] 입니다.
4) 따라서 구하는 합은 \(\log_2 \dfrac{16}{31} = \log_2 16 - \log_2 31 = 4 - \log_2 31\) 입니다.

1) 삼각형 \(\text{OAP}\)의 밑변 \(\overline{\text{OA}}\)의 길이는 \(2t\)이고, 점 \(\text{P}(t, t^2)\)에서 \(x\)축까지의 거리(높이)는 \(t^2\) 이므로 넓이 \(S(t)\)는 \[S(t) = \dfrac{1}{2} \times 2t \times t^2 = t^3\] 입니다.
2) 선분 \(\text{OP}\)의 길이 \(L(t)\)는 점과 점 사이의 거리 공식에 의하여 (\(t > 0\)) \[L(t) = \sqrt{t^2 + (t^2)^2} = t\sqrt{1 + t^2}\] 입니다.
3) 따라서 \(\{L(t)\}^3 = t^3(1 + t^2)\sqrt{1 + t^2}\) 이므로 극한식에 대입하면 \[\lim_{t \to 0^+} \dfrac{S(t)}{\{L(t)\}^3} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{t^3}{t^3(1 + t^2)\sqrt{1 + t^2}} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{1}{(1 + t^2)\sqrt{1 + t^2}} = 1\] 입니다.

1) 접점의 좌표를 \((t, t^3 - 6t^2 + 1)\) 이라 하자. \(y' = 3x^2 - 12x\) 이므로 접선의 방정식은 \[y - (t^3 - 6t^2 + 1) = (3t^2 - 12t)(x - t)\] 입니다.
2) 이 접선이 점 \((0, a)\)를 지나므로 \(x = 0,\; y = a\) 를 대입하여 정리합니다. \[a - (t^3 - 6t^2 + 1) = -3t^3 + 12t^2 \implies -2t^3 + 6t^2 + 1 = a\] 3) 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있으려면 접점의 \(x\)좌표 \(t\)에 대한 삼차방정식 \(g(t) = -2t^3 + 6t^2 + 1 = a\) 가 서로 다른 세 실근을 가져야 합니다. 미분하여 극값을 구하면 \[g'(t) = -6t^2 + 12t = -6t(t - 2) = 0 \implies t = 0 \;\text{또는}\; t = 2\] 입니다.
4) 극솟값은 \(g(0) = 1\) 이고 극댓값은 \(g(2) = -16 + 24 + 1 = 9\) 이므로, 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 \(1 \lt a \lt 9\) 입니다.
5) 따라서 조건을 만족시키는 정수 \(a\)는 \(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\) 로 총 \(7\)개입니다.

1) 이차함수인 도함수 \(f'(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(1 - x) = f'(1 + x)\) 를 만족시키므로, \(y = f'(x)\) 의 그래프는 직선 \(x = 1\) 에 대하여 대칭입니다.
2) 함수 \(f(x)\)가 \(x = 3\) 에서 극솟값을 가지므로 \(f'(3) = 0\) 입니다. 대칭축이 \(x = 1\) 이므로 방정식 \(f'(x) = 0\) 의 다른 한 실근은 \(x = -1\) 입니다.
3) \(f(x)\)의 최고차항의 계수가 \(1\)이므로 \(f'(x)\)의 최고차항의 계수는 \(3\)입니다. \[f'(x) = 3(x + 1)(x - 3) = 3x^2 - 6x - 9\] 4) 부정적분을 구하면 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + C\) (\(C\)는 적분상수)이며, \(f(3) = 27 - 27 - 27 + C = -10 \implies C = 17\) 입니다.
5) 따라서 함수 \(f(x)\)는 \(x = -1\) 에서 극댓값을 가지며, 극댓값은 \[f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 17 = -1 - 3 + 9 + 17 = 22\] 입니다.

1) 먼저 정적분 \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx\) 를 계산합니다. \[\int_{0}^{2} (x^3 + x + 1)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{1}{2}x^2 + x\right]_{0}^{2} = 4 + 2 + 2 = 8\] 2) \(f(0) = 1\) 이고 \(f(2) = 8 + 2 + 1 = 11\) 이므로, 함수 \(y = f(x)\) 의 그래프와 그 역함수 \(y = g(x)\) 의 그래프의 직선 \(y = x\) 에 대한 대칭성에 의하여 \[\int_{0}^{2} f(x)\,dx + \int_{1}^{11} g(x)\,dx = 2 \times f(2) - 0 \times f(0) = 2 \times 11 - 0 = 22\] 가 성립합니다.
3) 따라서 역함수의 정적분 값은 \[\int_{1}^{11} g(x)\,dx = 22 - \int_{0}^{2} f(x)\,dx = 22 - 8 = 14\] 입니다.

1) 두 점 \(\text{P}, \text{Q}\)가 모두 원점을 출발하므로 시각 \(t\)에서의 위치 \(x_1(t), x_2(t)\)는 각각 \[x_1(t) = \int_{0}^{t} (3s^2 - 4s)\,ds = t^3 - 2t^2, \qquad x_2(t) = \int_{0}^{t} (2s + 10)\,ds = t^2 + 10t\] 입니다.
2) 출발 후(\(t > 0\)) 두 점이 다시 만날 때는 두 점의 위치가 같으므로 \(x_1(t) = x_2(t)\) 입니다. \[t^3 - 2t^2 = t^2 + 10t \implies t^3 - 3t^2 - 10t = t(t - 5)(t + 2) = 0\] 3) \(t > 0\) 이므로 두 점이 다시 만나는 시각은 \(t = 5\) 입니다.
4) \(t \ge 0\) 에서 \(v_2(t) = 2t + 10 > 0\) 이므로 시각 \(t = 5\) 까지 점 \(\text{Q}\)가 움직인 거리는 \[\int_{0}^{5} (2t + 10)\,dt = \left[t^2 + 10t\right]_{0}^{5} = 25 + 50 = 75\] 입니다.